ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111689
Темы:    [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.


Решение

Пусть левая верхняя клетка белая. Все нечётные столбцы сдвинем влево, а потом все нечётные строчки вверх. Теперь все белые клетки собрались в двух прямоугольниках в левом верхнем и правом нижнем углах, причём отношение площади каждого белого прямоугольника к площади каждого чёрного не больше 2. Пусть ширина левого белого прямоугольника больше ½. Тогда увеличивая его высоту, мы увеличиваем суммарную белую площадь. Значит, максимальное отношение белой площади к чёрной достигается, когда левый верхний прямоугольник – квадрат со стороной ⅔ и равно  (4/9 + 1/9) : (2·2/9) = 5/4.


Ответ

5/4.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .