ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111698
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.


Решение

Пусть окружности, построенные как на диаметрах на боковых сторонах OA и OB равнобедренного треугольника AOB, пересекаются в точке C1. Тогда  ∠AC1O = ∠BC1O = 90°,  значит, точка C1 – середина отрезка AB треугольника ABC. Аналогично, точка A1 пересечения окружностей с диаметрами OB и OC – середина отрезка BC, а точка B1 пересечения окружностей с диаметрами OA и OC – середина отрезка AC. Следовательно, четырёхугольник BA1B1C1 – параллелограмм. Сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BC1, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OC = OB,  отсекаемому хордой  A1B1 = BC1.  Аналогично сегмент окружности с диаметром OB, отсекаемый хордой BA1, равен соответствующему сегменту окружности с диаметром  OA = OB,  отсекаемому хордой  B1C1 = BA1.  Следовательно, криволинейный треугольник, о котором говорится в условии задачи, равновелик параллелограмму BA1B1C1, площадь которого равна половине площади треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2892

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .