Задача 111701
Условие
Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N . Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дли данного сегмента дуги.Решение
Пусть CQ — касательная, проведённая к окружности S1 (рис.1), вписанной в сегмент AB данной окружности ( Q — точка касания). Докажем сначала, что CQ=AC Пусть G и H — точки касания окружности S1 с прямой AB и с данной окружностью S соответственно, а продолжение радиуса OC данной окружности пересекает хорду AB в точке K . Тогда точки G , H и C лежат на одной прямой (при гомотетии с центром H , переводящей окружность S1 в окружность S , точка G перейдёт в точку C ), а K — середина AB . Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, чтоСледовательно, CQ=AC . Что и требовалось доказать. Вернёмся к нашей задаче. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2 , вписанных в сегмент данной окружности S и пересекающихся в точках M и N , а P — точка касания с окружностью S2 прямой, проходящей через точку C . Тогда
По доказанному выше, CQ=AC . Аналогично, CP=AC , поэтому CQ=CP . Значит,
Известно, что геометрической место точек, разность квадратов расстояний от каждой из которых до концов данного отрезка постоянна, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку. Следовательно, точки M и C лежат на прямой, перпендикулярной O1O2 . Аналогично, точки N и C лежат на прямой, перпендикулярной O1O2 , а т.к. через точку C проходит единственная прямая, перпендикулярная O1O2 , то точки C , M и N лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2895 |
