ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111706
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?


Решение

Диагональ параллельна стороне, если между концами стороны и концами диагонали находится по равному числу сторон. Значит, диагональ параллельна какой-то стороне, если один из отсекаемых ею многоугольников имеет чётное число сторон. Поэтому если число сторон правильного многоугольника нечётно, то каждая его диагональ параллельна какой-то стороне. Если же число сторон чётно (равно 2k), то из каждой вершины выходит  2k – 3  диагонали, из которых только каждая чётная по порядку, считая от стороны, параллельна какой-то стороне, то есть диагоналей, параллельных сторонам, меньше половины.


Ответ

Не существует.

Замечания

Ср. с зад. 116573.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2008
тур
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .