ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111763
Темы:    [ Вычисление производной ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.


Решение

Пусть u, v – абсциссы вершин парабол  y = f(x)  и  y = g(x).  Тогда  f(x) = a(x – u)² + bg(x) = c(x – v)² + d  (a, c ≠ 0),  и исходное неравенство переписывается в виде  4ac(x – u)(x – v) ≥ | a(x – u)² + b| + |c(x – v)² + d|.  Подставляя в это неравенство  x = u,  получаем  |b| + |c(x – v)² + d| ≤ 0,  откуда  b = 0  и  c(u – v)² + d = 0.  По аналогичным соображениям  d = 0,  поэтому из предыдущего равенства следует, что  u = v.  Так как  4ac(x – u)² ≥ 0  при всех x, то  ac > 0.  Поэтому     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .