ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111770
Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.


Решение

Обозначим коробки  B1, ..., B25.  По условию общее число цветов равно 26. Если рассмотреть все коробки, кроме Bi, то общее число цветов в них равно 25. Следовательно, есть цвет, присутствующий только в коробке Bi; назовем его Ci. Поскольку общее число цветов – 26, остался ровно один цвет C, отличный от всех Ci. Если в какой-то коробке Bk нет шариков этого цвета, то в ней есть только шарики цвета Bk, что противоречит условию (в Bk должны быть шарики двух цветов). Значит, шарики цвета C есть во всех коробках.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.4.11.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .