ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111794
Тема:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.


Решение

  Пусть исходные трёхчлены имеют вид  ax² + bx + c  и  px² + qx + r.  Так как после перестановки a и p полученные трёхчлены не имеют корней, то
b² < 4pc  и  q² < 4ar.  Левые (а значит, и правые) части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно перемножить:  b²q² < 16acpr.  Значит, числа ac и pr отличны от нуля и имеют одинаковый знак.
  С другой стороны, исходные трёхчлены корни имеют, то есть  b ≥ 4ac  и  q ≥ 4pr.  Если оба числа в правых частях положительны, то  b²q² ≥ 16acpr,  что противоречит полученному выше. Значит,  ac < 0  и  pr < 0;  поэтому  q² ≥ 0 > 4ac  и  b² ≥ 0 > 4pr.  Это и означает, что трёхчлены  ax² + bx + c  и  px² + bx + r  имеют корни.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.4.11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .