ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111795
Темы:    [ Подсчет двумя способами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

Решение

Поставим в каждой красной точке число 0, в каждой синей – 1, а в каждой зеленой – 2. Тогда каждое число на разноцветной дуге равно сумме чисел в ее концах, а каждое число на одноцветной дуге меньше суммы в ее концах. Значит, сумма чисел на дугах не превосходит удвоенной суммы чисел в точках, причем равенство достигается, когда все дуги – разноцветные. Сумма чисел в точках равна 40· 0+30· 1+20· 2=70 , поэтому сумма чисел на дугах не больше 140. Осталось привести пример, когда эта оценка достигается (то есть когда все дуги разноцветны). Расставим сначала по кругу 40 красных точек; затем вставим между соседними красными по точке другого цвета– 30 синих и 10 зеленых. Наконец, вставим оставшиеся 10 зеленых на дуги между красными и синими точками (таких дуг образовалось 60, поэтому их хватит).

Ответ

140.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .