ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111816
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.


Решение

Так как PB – касательная, то  ∠BAC = ∠PBC.  Следовательно, треугольники PBC и PAB подобны по двум углам, и  PB : PC = PA : PB.  Значит,
PD : PC = PA : PD.  Следовательно, треугольники PDC и PAD подобны, и  ∠PDC = ∠PAD.  Так как точки E и C симметричны относительно BD, то
BED = ∠BCD = 180° – ∠CBD – ∠CDB = 180° – ∠CAB – ∠CAD = 180° – ∠BAD,  то есть  ∠BAD + ∠BED = 180°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 08.4.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .