ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111835
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Дан многочлен  P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an.  Положим  m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxn  при  x ≥ 1.


Решение

P(x) – mxn = (a0m)(xn – xn–1) + (a0 + a1m)(xn–1xn–2) + ... + (a0 + ... + an–1m)(x – 1) + (a0 + ... + anm) ≥ 0,  так как при  x ≥ 1  каждое слагаемое по условию неотрицательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 07.5.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .