ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111857
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?


Решение

  Пронумеруем доминошки разбиения. Пусть в i-й доминошке лежат числа ai и bi. Заметим, что     Просуммировав эти равенства по всем доминошкам, получаем, что сумма всех 50 произведений равна   Первая дробь равна  ½ (1² + ... + 100²),  то есть не зависит от разбиения. В числителе же второй дроби каждый квадрат равен либо 1², либо 10² – в зависимости от того, горизонтальна или вертикальна i-я доминошка. Поэтому вторая дробь будет максимальна (а итоговая сумма – минимальна) тогда, когда все слагаемые в числителе будут равняться 100, то есть когда все доминошки вертикальны.


Ответ

На 50 вертикальных прямоугольников (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.5.9.7
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.5.8.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .