Задача 111860

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Исаев М.

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

Решение

                 

Середину меньшей дуги DE обозначим через K. Тогда  ∠MEK = ∠MED – ∠KED = ∠MED – ∠KCD = ½ ∠AED – ½ ∠ECD = ½ ∠CDE = ∠EDN  (в частности, точка K лежит внутри угла MED, так как  ∠MED > ∠KED).   Аналогично  ∠MDK = ∠DEN.  Пусть прямые DK и EK пересекают описанную окружность треугольника DEM соответственно в точках P и Q (рис. справа). Так как  DK = EK,  то  ∠KED = ∠KDE = ∠PDE = ∠PQE,  откуда
PQ || DE.  Далее,  ∠QPM = ∠QEM = ∠KEM = ∠EDN  и аналогично  ∠PQM = ∠DEN. Отсюда вытекает, что треугольники DEN и PQM гомотетичны, причём K является центром гомотетии (как точка пересечения прямых QE и PD). Следовательно, MN проходит через K.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	07.4.10.4