ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111860
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Исаев М.

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.


Решение

                 
Середину меньшей дуги DE обозначим через K. Тогда  ∠MEK = ∠MED – ∠KED = ∠MED – ∠KCD = ½ ∠AED – ½ ∠ECD = ½ ∠CDE = ∠EDN  (в частности, точка K лежит внутри угла MED, так как  ∠MED > ∠KED).   Аналогично  ∠MDK = ∠DEN.  Пусть прямые DK и EK пересекают описанную окружность треугольника DEM соответственно в точках P и Q (рис. справа). Так как  DK = EK,  то  ∠KED = ∠KDE = ∠PDE = ∠PQE,  откуда
PQ || DE.  Далее,  ∠QPM = ∠QEM = ∠KEM = ∠EDN  и аналогично  ∠PQM = ∠DEN. Отсюда вытекает, что треугольники DEN и PQM гомотетичны, причём K является центром гомотетии (как точка пересечения прямых QE и PD). Следовательно, MN проходит через K.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 07.4.10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .