|
|
 |
Условие
а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды,
пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные
сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну
монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?
Решение
а) Первый способ. Разделим сундуки на три пары. Общее количество монет в каждой паре сундуков чётно, поэтому чётно и число монет во всех шести сундуках. Теперь разделим сундуки на две тройки. Число монет в каждой тройке кратно 3, поэтому кратно 3 и общее число монет во всех сундуках. Итак, это общее число монет делится на 2 и 3, а значит, и на 6. Следовательно, все монеты можно разложить поровну по шести сундукам.
Второй способ. Заметим, что число монет во всех сундуках имеет одинаковую чётность. Ведь поделить поровну содержимое двух сундуков с разной чётностью монет нельзя.
Общее количество монет в первых трёх сундуках кратно 3. Если заменить сундук 3 на сундук 4, то делимость на 3 не нарушится. Это означает, что число монет в четвёртом сундуке даёт тот же остаток при делении на 3, что и в третьем. Таким же образом про любые два сундука можно доказать, что число монет в одном даёт тот же остаток при делении на 3, что и в другом. Поэтому остатки от деления всех этих чисел на 3 одинаковы.
Если числа дают одинаковые остатки при делении как на 2, так и на 3,
то их разность делится на 2 и на 3, то есть на 6. Это означает, что у любых двух (а значит, и у всех шести) чисел остатки при делении на 6 равны между собой. Сумма шести таких чисел будет кратна 6. Поэтому все монеты можно разложить поровну по всем сундукам.
б) Рассуждая так же, как в а), можно доказать, что все восемь
чисел, соответствующие количествам монет в сундуках, дают одинаковые остатки при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значит, эти числа дают одинаковые остатки при делении на 420 (наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 7). Но поскольку 420 не кратно 8, эти числа могут иметь различные остатки при делении на 8, что помешает поровну разложить монеты по восьми сундукам.
Например, в первом сундуке могла быть 421 монета, а в остальных семи – по одной. Тогда в двух сундуках в сумме либо 2, либо 422 монеты, оба числа чётные. В трёх сундуках в сумме либо 3, либо 423 монеты, каждое из этих чисел делится на 3 и т.д. В семи сундуках в сумме 7 или 427 монет. Оба числа делятся на 7. Однако общее число монет 428 на 8 не делится. То есть в этом случае на восемь сундуков разложить монеты поровну не получится.
С другой стороны, во всех сундуках изначально могло храниться,
например, поровну монет. Поэтому точно ответить на вопрос, не зная, что лежит в сундуках, нельзя.
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
Замечания
Ср. с задачей 111902.
