ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111915
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.


Решение

  Отразим картинку относительно основания (см. рис.). Заметим. что треугольники ABM1 и B1BN1 равны (один получается из другого поворотом на 60° вокруг точки B).

  Первый способ. Нам достаточно доказать, что  SBPQ = SAPM1 + SCQN1.
  Добавив к обеим частям SM1PQN1B1, сведём задачу к доказательству равенства  SACB1 = SBM1B1N1.  По доказанному
SBM1B1N1 = SM1BB1 + SB1BN1 = SM1BB1 + SABM1 = SABB1 = SACB1.

  Второй способ. Из этого следует, что  MB = M1B1 = N1C.  Проведём отрезок MN1, пересекающий AC в точке O (см. рис.).

  В силу симметрии отрезок NM1 пройдёт через ту же точку O. Так как отрезки MB и N1C параллельны и равны, то MBCN1 – параллелограмм, а BON1C – трапеция. Значит,  SBOQ = SCN1Q = SCNQ  (см. задачу 54961). Аналогично  SBOP = SAM1P = SAMP.  Значит,
SPQB = SBOP + SBOQ = SAMP + SCNQ.

Замечания

1. Второй способ основан на работе участницы олимпиады Татьяны Неретиной.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
класс
Класс 9
задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .