ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111918
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a1, ..., an, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

Решение

  Рассмотрим последовательность, где  a2n–1 = n(n + 1),  a2n = (n + 1)²:  2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25… Каждый чётный член – среднее арифметическое, а каждый нечётный – среднее геометрическое своих соседей.

  Осталось заметить, что, так как среднее арифметическое двух различных чисел не равно среднему геометрическому, то наша последовательность ни с какого места не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

1. 8-9 кл. – 5 баллов, 10-11 кл. – 4 балла.

2. Ср. с задачей 111914.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .