ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111921
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A1 , B1 . Пусть A2 , B2 — ортоцентры треугольников CAA1 и CBB1 . Докажите, что прямая A2B2 перпендикулярна биссектрисе угла C .

Решение




Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .