Задача 115310

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

ABCD – выпуклый четырёхугольник,  AB = BC  и  AD = DC.  На диагонали AC нашлась такая точка K, что  AK = BK  и четырёхугольник KBCD – вписанный. Докажите, что  BD = CD.

Решение

Обозначим  ∠ABK = ∠BAC = ∠BCA = α,  ∠DAC = ∠DCA = β.  Тогда ∠BAD = α + β,   ∠ABD = ∠ABK + ∠KBD = ∠ABK + ∠KCD = α + β. Значит, треугольник ADB – равнобедренный. Следовательно,  BD = AD = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3416