Задача 115335

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На продолжении стороны AD вписанного четырёхугольника ABCD за точку D отмечена такая точка E, что  AC = CE и  ∠BDC = ∠DEC.
Докажите, что  AB = DE.

Решение

Обозначим ∠DEC = ∠BDC = α.  Поскольку треугольник ACE – рвнобедренный,  ∠CAE = ∠AEC = ∠DEC = α.  Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну дугу, поэтому  ∠BAC = ∠BDC = α = ∠CAD.  Значит,  BC = CD.   ∠ABC = 180° – ADC = ∠CDE.  Таким образом,
∠ACB = 180° – BAC – ABC = 180° – ∠DEC – ∠CDE = ∠DCE.  Значит, треугольники ABC и EDC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AB = DE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6339