ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115351
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.


Решение

  Обозначим через E точку пересечения диагоналей AC и BD. Пусть для определенности точка K лежит на отрезке BE.

 Первый способ. Пусть прямая, проходящая через K параллельно PM, пересекает AC в точке N (рис. слева). Треугольник NKE и PME подобны (так как их стороны параллельны), откуда  PE : EM = NE : EK.  Прямоугольные треугольники AKE и CME также подобны, поэтому  EM : EC = EK : EA.  Перемножая полученные равенства, получаем  PE : EC = NE : EA.  Но по теореме Фалеса  PE : EC = KE : EB.  Следовательно,
NE : EA = PE : EC = KE : EB,  откуда  KN || AB.  Значит, и  PM || AB BC || KP.

  Второй способ. Заметим, что  ∠PAD = ∠CAD = ∠CBD = ∠PKD,  то есть четырёхугольник AKPD вписан (рис. справа). Значит,
AKD = ∠APD = 90°.  Из равенства  ∠CPD = ∠CMD = 90°  следует вписанность четырёхугольника CPMD, откуда
EPM = 180° – ∠CPM = ∠EDC = ∠BAC = ∠BAE.  Отсюда следует, что  PM || ABBC || KP.

  Случай, когда K лежит на отрезке DE, рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .