ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115390
Темы:    [ Свойства гомотетии и центра гомотетии ]
[ Неравенства с объемами ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
[ Объем шара, сегмента и проч. ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

Решение

Так как при растяжении в  R раз площади меняются в  R2 , а объёмы в  R3 раз, площадь круга радиуса R равна V2R2 , а площадь шара V3R3 , где V2 и  V3  — некоторые константы (площадь единичного круга и объём единичного шара, соответственно; на самом деле V2, а  V3=π , но для решения задачи это не важно).
Обозначим радиусы монет через R1 , R2 и  R3 . Вначале весы были в равновесии, поэтому V2R12+V2R22=V2R32 , т. е.

R12+R22=R32.

Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами, после того как монеты заменили шарами, нужно сравнить R13+R23 с  R33 . Но по сравнению с равенством выше правая часть умножилась на больший радиус R3 , а два слагаемых в левой части — на меньшие радиусы R1 и  R2 :
R13+R23= R12· R1+R22· R2< R12· R3+R22· R3= (R12+R22)· R3= R33.

Значит, правая чаша перевесит.

Ответ

Перевесит правая чаша весов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2009
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .