ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115397
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2) и ak+1=ak+ при любом натуральном  k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Решение

Положим bk=ak-k . Тогда

bk+1 = bk-1 + = bk - = bk ( 1 - ).

Отсюда очевидной индукцией по k получаем, что bk>0 (поскольку b1>0 ). Кроме того, bk+1= bk - <bk . Отсюда, в частности, следует, что bk b1 < 1 .
Заметим, что b2=a1+-2=(-)2 . Выражение в скобках положительно и возрастает, когда a1 пробегает интервал  (1,2) ; тогда 0=1+-2<b2<2+-2= . Таким образом, bk b2< при k 2 .
Теперь, если ak+aj  — целое число, то bk+bj  — также целое. Значит, одно из чисел bk , bj (для определенности  bk ) не меньше  ; тогда k=1 , и bj=1-b1 . Но таких чисел  j не больше одного, так как последовательность  (bi) убывает. Из этого и следует утверждение задачи.
Замечание. Можно показать, что количество пар с целой суммой будет конечным при любом a1>1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008-2009
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .