ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115406
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Тригонометрический круг ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Трушин Б.

Сколько раз функция   f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009   меняет знак на отрезке  [0, 2009π/2] ?


Решение

  Обозначим  n = 2009.  Рассмотрим функцию  cos π/k.  Она меняет знак при  x = km + π/2) = k(2m+1)π/2,  где m – произвольное целое число. Значит, нулями функции  f(x) могут являться только точки  xi = πi/2,  где  1 ≤ i ≤ n.  Тогда менять знак она может лишь в точках xi при  i = 1, 2, ..., n – 1.
  Функция  cos x/k  меняет знак в точке xi, если  i = k(2m + 1)  при целом m. Значит, количество косинусов, которые меняют знак в точке xi, совпадает с количеством нечётных делителей числа i. Поэтому функция  f(x) будет менять знак в тех и только тех точках  xi, для которых у числа i нечётное количество нечётных делителей. Пусть  i = 2lj,  где l целое, а j нечётно. Тогда количество нечётных делителей у чисел i и j совпадает. Но у нечётного числа  j количество делителей нечётно тогда и только тогда, когда  j – точный квадрат (см. задачу 30365).
  В итоге получаем, что функция  f(x) меняет знак в точке xi, если число i – либо квадрат, либо удвоенный квадрат (в зависимости от чётности числа l). Но среди чисел от 1 до  n – 1  есть  []  квадратов, и  []  удвоенных квадратов. Значит, количество перемен знака равно
[] + [] = 44 + 31 = 75.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008-2009
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .