ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115496
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точка I  — центр вписанной окружности. Точки M и N  — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол  BIM  — также прямой.

Решение



Так как средняя линия MN треугольника ABC параллельна стороне AB , BAN+ MNA=180o , а значит, BAN+ MNA=90o . С другой стороны, поскольку угол AIN прямой, BAN+ INA=90o . Стало быть, INA= MNA , т.е. точка I лежит на биссектрисе угла MNA (рис.).
Таким образом, из условия AIN=90o получаем, что центр I вписанной окружности треугольника ABC равноудалён от прямых AC , BC , AB и  MN (т.е. вписанная окружность треугольника ABC касается его средней линии MN ). Обращая переходы в предыдущем абзаце, получаем, что и BIM=90o . А именно:
IBM+ BMI= ABM+ BMN=90o,

поэтому
BIM=180o-( IBM+ BMI)=90o.


Комментарий. Выпуклый четырёхугольник ABMN является описанным тогда и только тогда, когда AN+BM=AB+MN . Замечая, что MN=AB , получаем, что условие задачи выполняется в точности для треугольников, стороны которых удовлетворяют соотношению 3AB=AC+BC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 8
задача
Номер 2010.8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .