ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115504
Тема:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  x² + ax + bx² + cx + dx² + ex + f  не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?


Решение

  Обозначим эти трёхчлены через  f1(x),  f2(x) и  f3(x). По условию все их попарные суммы не имеют корней, значит, каждая из функций
f1(x) + f2(x),  f2(x) + f3(x)  и  f3(x) + f1(x)  принимает только положительные значения.
  Следовательно,  2(f1(x) + f2(x) + f3(x)) = (f1(x) + f2(x)) + (f2(x) + f3(x)) + (f3(x) + f1(x)) > 0 для всех x.


Ответ

Не может.

Замечания

Может случиться так, что сумма каждых двух трёхчленов имеет корень, а сумма всех трёх – нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 2010.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .