|
|
 |
Условие
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
Решение
Диагонали AC и MN четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и при этом треугольники AMO и CNO равновелики, значит, MC || AN (из равенства площадей треугольников AMN и ACN следует равенство их высот, опущенных из
вершин M и C).
Треугольники MCN и AND подобны, треугольники MBC и AMN также подобны, причём с тем же коэффициентом (CN : ND = MB : AM по теореме о пропорциональных отрезках). Поэтому подобны трапеции MBCN и AMND. Следовательно, BC : MN = MN : AD, то есть MN² = AD·BC = ab.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6623 |
