Задача 115667

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность с центром O касается сторон угла в точках A и B. Через произвольную точку M отрезка AB, отличную от точек A и B, проведена прямая, перпендикулярная прямой OM и пересекающая стороны угла в точках C и D. Докажите, что  MC = MD.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Точки M и B лежат на окружности с диаметром OD. Вписанные в эту окружность углы MDO и MBO равны. Аналогично  ∠MCO = ∠MAO,  значит,  ∠CDO = ∠MDO = ∠MBO = ∠ABO = ∠BAO = ∠MAO = ∠MCO = ∠DCO,  поэтому треугольник COD – равнобедренный, его высота OM является медианой. Следовательно,  MC = MD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2558