Условие
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника
ABCD , делят его на четыре
четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что
ABCD — параллелограмм.
Решение
Пусть
K ,
L ,
M и
N — середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD и
AD параллелограмма
ABCD ,
O — точка
пересечения отрезков
KM и
LN . Тогда
KL и
MN — средние
линии треугольников
ABC и
ADC , значит,
KL=
AC =
MN и
KL|| AC || MN , поэтому
KLMN —
параллелограмм. Его диагонали
KM и
LN делятся точкой
пересечения
O пополам, т.е.
KO=OM и
LO=ON .
Из равенства периметров четырёхугольников
OKBL и
OMCL следует,
что
BK=CM , поэтому
AB=2
BK=2
CM=CD . Аналогично,
BC=AD .
Следовательно,
ABCD — параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2566 |
