ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115732
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана окружность и точка К внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку К, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.


Решение

  Пусть R – радиус данной окружности, PQ – общая хорда, M – её середина, а O1 – центр выбранной произвольно окружности. OPO1Q – ромб, поэтому M будет также серединой OO1. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Средняя линия MM1 треугольника ОKO1 равна половине KO1, то есть R/2. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине OK и радиусом R/2 (рис. слева).
  Несложно также проверить, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды.

  Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку K, лежат на окружности с центром в точке K радиуса R (рис. справа). Поэтому искомое ГМТ есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом ½.


Ответ

Окружность с центром в середине OK (O – центр исходной окружности) и радиусом, равным половине радиуса данной окружности).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .