ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115734
Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеются две параллельные прямые p1 и p2. Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
  а) точками пересечения высот;
  б) точками пересечения медиан;
  в) центрами описанных окружностей.


Решение

  а) Очевидно, получается прямая, перпендикулярная BC и проходящая через вершину A.

  б) Ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении  1 : 2,  считая от p1 (рис. справа). В самом деле, если отрезок BC движется с постоянной скоростью, то и его середина движется с постоянной скоростью. Точка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину А с серединой ВС, в постоянном отношении  2 : 1  и, следовательно, также будет двигаться с постоянной скоростью по указанной прямой.

  в) Первый способ. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC также движутся с постоянными скоростями. Значит, и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой (рис. слева).

  Второй способ. Рассмотрим отрезок AC0 (в который вырождается треугольник при совпадении точек A и B) и симметричный ему относительно перпендикуляра, опущенного на p2 из точки A, отрезок AK. Тогда ABCK – равнобокая трапеция, следовательно, точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC (рис. справа). Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляром к отрезку AK.


Ответ

Во всех случаях получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .