ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115735
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторону AB треугольника ABC разделили на n равных частей (точки деления  B0 = A,  B1, B2,  Bn = B),  а сторону AC этого треугольника разделили на
n + 1  равных частей (точки деления  C0 = A,  C1, C2, ..., Cn+1 = C).  Закрасили треугольники CiBiCi+1. Какая часть площади треугольника закрашена?

Решение

  Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек B1, ..., Bn опустим перпендикуляры на сторону AC. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников CiBiCi+1 с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия,  hi = ih1.  Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников:  Si = iS1. (На рисунке изображен случай  n = 4.)

  Опустив затем перпендикуляры из точек C1, ..., Cn на сторону AC, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота h1 общая).

Замечания

Равенство площадей соответствующих пар треугольников (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически без вычислений, воспользовавшись тем, что прямые BiCi параллельны друг другу (по теореме, обратной теореме Фалеса). Поэтому  SBi–1BiCi = SCi–1BiCi  (у них общее основание BiCi, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию) и  SCi–1BiCi = SBiCiCi+1  (вершина Bi общая, а  Ci–1Ci = CiCi+1  по условию).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .