ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115738
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.


Решение

  Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство:  
  Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что     то есть, что     Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.

  Начало каждого такого вектора расположено в точке Р, а конец – на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображен случай, когда точка Р лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющие Р с вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров – поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Из рисунка видно, что указанное равенство выполняется.
  Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точка Р расположена вне треугольника АВС.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .