Задача 115775

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что  PQ ⊥ AB.

Решение 1

Так как ABCD – прямоугольник, то     (это очевидное следствие задачи 54405). Но     Аналогично     Следовательно,  

Решение 2

Пусть Q' – образ Q при переносе на вектор     Тогда  CQ' || BQ ⊥ DP,  DQ' ⊥ CP.  Следовательно, P – ортоцентр треугольника CDQ' , и
PQ' ⊥ CD.

Решение 3

Пусть U, V – проекции A и B на PC и PD соответственно. Тогда точки U и V лежат на описанной окружности четырёхугольника ABCD, и, применив к ломаной AUCBVD  теорему Паскаля (см. задачу 57105), получим утверждение задачи (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	12