Задача 115859

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Формула Эйлера ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Заславский А.А., Акопян А.В.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Решение

Пусть A', B', C' – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Тогда I – ортоцентр треугольника A'B'C', A, B, C – основания его высот и, значит, описанная окружность Ω треугольника ABC является окружностью Эйлера треугольника A'B'C'. Следовательно, радиус описанной окружности Ω' треугольника A'B'C' равен 2R, а её центром является точка O', симметричная I относительно O. Кроме того, точки A, B лежат на окружности с диаметром A'B'. Прямая AB является общей хордой этой окружности и окружности Ω, а внешняя биссектриса угла C – общей хордой этой окружности и окружности Ω'. Поэтому точка P является радикальным центром трёх окружностей, а прямая PQ – радикальной осью окружностей Ω и Ω' (так как она перпендикулярна к линии центров OO'). Следовательно,  OQ² – R² = (OQ + OO')² – 4R². Поскольку  O'O² = OI² = R² – 2Rr  (см. задачу 52464), получаем, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.3