ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115860
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Pohoata C.

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые da, db, dc. Прямые, симметричные da, db, dc относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.


Решение

  Пусть Ω – описанная окружность треугольника ABC, O – её центр, R – её радиус.

  Первый способ. Когда прямые da, db, dc вращаются вокруг вершин треугольника, симметричные прямые вращаются с той же скоростью вокруг точек, симметричных вершинам относительно противоположных сторон. Поэтому, во-первых, углы треугольника XYZ не зависят от выбора прямых da, db, dc, так что все эти треугольники подобны, во-вторых, точки X, Y, Z движутся с одинаковыми угловыми скоростями по трём окружностям. Значит, центр вписанной окружности тоже движется по некоторой окружности, и достаточно найти три ее точки.
  Возьмём прямые da, db совпадающими с прямой AB. Пусть A', B' – точки, симметричные A, B относительно противоположных сторон треугольника. Тогда Z – точка пересечения прямых AB' и BA', а Y и X – точки пересечения этих прямых с прямой, параллельной AB и лежащей вдвое дальше от точки C. Заметим, что точки C и O равноудалены от прямых AB' и BA', то есть биссектриса угла XZY совпадает с прямой CO. Кроме того, нетрудно видеть, что биссектрисы углов ZXY и ZYX перпендикулярны AC и BC соответственно.
  Рассмотрим проекции точки O и центра вписанной в треугольник XYZ окружности на прямую AC. Точка O проецируется в середину AC. Туда же проецируется точка пересечения прямых AB' и dc, поскольку углы, образованные этими прямыми с AC, равны. Значит, X и центр вписанной окружности проецируются в точку, симметричную середине AC относительно A (см. рис.). Следовательно, расстояние от O до центра вписанной окружности равно 2R. Взяв прямые da, db, dc параллельными другим сторонам ABC, получим тот же результат. Следовательно, искомое ГМТ – окружность, концентричная Ω, но вдвое большего радиуса.

  Второй способ. Так как прямые XY, YZ, ZX вращаются с постоянной скоростью, вершина X треугольника XYZ описывает окружность с хордой B'C', а биссектриса угла YXZ вращается вокруг середины Wa дуги B'C' также с постоянной скоростью. Аналогично, биссектрисы углов Y и Z вращаются вокруг середин Wb, Wc соответствующих дуг A'C' и A'B'.
  Таким образом центр I вписанной окружности одновременно движется по описанным окружностям треугольников IWaWb, IWbWc и IWcWa. Значит, эти окружности совпадают, и искомым ГМТ будет описанная окружность треугольника WaWbWc.
  Покажем, что каждая из точек Wa, Wb, Wc лежит на расстоянии 2R от O. Рассмотрим, например, точку Wa. Пусть BHb, CHc – высоты треугольника ABC, Oa – центр описанной окружности треугольника AHbHc, O' – точка, симметричная O относительно BC, Ma – середина BC. Треугольники BCO', HbHcOa и B'C'Wa подобны (они все равнобедренные с углом 2C при вершине), вырожденные треугольники BHbB1 и CHcC1 также подобны, следовательно, они подобны и "треугольнику" O'OaWa, то есть MaOa – средняя линия треугольника O'OWa. Так как отрезок MaOa – диаметр окружности Эйлера, то его длина равна R.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .