ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115862
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральное проектирование ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема Стюарта ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A1 и B1 – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA1 и BB1. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.


Решение 1

  Пусть C1 – точка касания вписанной окружности со стороной AB, C2 – вторая точка пересечения этой окружности с прямой CC1. Тогда G лежит на отрезке CC1. Существует центральная проекция, переводящая вписанную окружность в окружность, а G – в её центр. Треугольник ABC при этой проекции перейдёт в правильный, так что двойное отношение (CGC1C2) для любого треугольника такое же, как для правильного, то есть равно 3. Отсюда получаем цепочку равносильных утверждений:  ∠CGI = 90°;  G – середина C1C2;  CC1 = 3CC2CC1 = 3GC1GM || AB.


Решение 2

  Пусть  AC1 = x,  BA1 = y,  CB1 = z.  По теореме Менелая     где  

  Теперь,   ∠IGC = 90°  ⇔   CI² – r² = GC² – C1G²   ⇔  

  Но, по теореме Стюарта (см. задачу 54717)  

  Из этих двух равенств получаем, что     ⇔  z(z + m) = (z + 4m)(z – m)  ⇔  2zm = 4m²  ⇔ z = 2m  ⇔  k = ½,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .