Задача 115863

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Глазырин А.

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

Решение

Из условия следует, что для любых i, j скалярное произведение     является половиной целого числа. Значит, для любых целых чисел m₁, ..., m_n длина вектора     – корень из натурального числа. Отметим на плоскости точки, являющиеся концами всех таких векторов. Пусть X – ближайшая к O из отмеченных точек, Y – ближайшая к O из отмеченных точек, не лежащих на прямой OX. Разобьём плоскость на параллелограммы, образованные векторами     и     В силу выбора точек X, Y все отмеченные точки будут вершинами параллелограммов разбиения, следовательно, векторы x, y – искомые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.7