ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115863
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано множество точек O, A1, A2, ..., An на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки Ai выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.


Решение

Из условия следует, что для любых i, j скалярное произведение     является половиной целого числа. Значит, для любых целых чисел m1, ..., mn длина вектора     – корень из натурального числа. Отметим на плоскости точки, являющиеся концами всех таких векторов. Пусть X – ближайшая к O из отмеченных точек, Y – ближайшая к O из отмеченных точек, не лежащих на прямой OX. Разобьём плоскость на параллелограммы, образованные векторами     и     В силу выбора точек X, Y все отмеченные точки будут вершинами параллелограммов разбиения, следовательно, векторы x, y – искомые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .