ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115867
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Признаки подобия ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.


Решение

Из условия следует, что  ∠BAC + ∠BCD = ∠ACD + ∠BAD = 180°.  Значит,  ∠BCA = ∠CAD,  то есть  AD || BC  и отрезок, соединяющий середины AB и CD, является средней линией трапеции и равен  ½ (AD + BC).  Кроме того, так как  ∠ACD = ∠ABC  и  ∠BAC = ∠CDA,  то ABCD – не параллелограмм, а треугольники ABC и DCA подобны. Следовательно,  AC² = AD·BC,  и утверждение задачи вытекает из неравенства Коши.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .