Задача 115868

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

Решение

Из условия следует, что  CB₁ : CA = CB : CA = BL : LA = B₂L : AL,  то есть  B₁B₂ || CL  (см. рис.). Аналогично  A₁A₂ || CL.  Значит,
∠AB₁B₂ = ∠BA₁A₂ = ½ ∠C.  При симметрии относительно CL точки B и A₁ перейдут в B₁ и A, а точка A₂ – в некоторую точку A'. При этом
∠A'AB₂ + ∠ A'B₁B₂ = ∠A + ∠B + 2·½ ∠C = 180°.  Следовательно, четырёхугольник AA'B₁B₂ – вписанный и точки O₁, O₂ симметричны относительно CL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	12