Задача 115869

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

Решение

Центры вписанной и вневписанной окружностей I и I_c лежат на биссектрисе угла C. Пусть C' – точка пересечения этой биссектрисы со стороной AB (см. рис.). Тогда  CI : CI_c = r : r_c = C'I : C'I_c,  где r, r_c – радиусы вписанной и вневписанной окружностей. Поэтому окружность с диаметром CC' является окружностью Аполлония для точек I, I_c и отношения  r : r_c.  Так как основание H высоты, опущенной на AB, лежит на этой окружности, то HC' и HC – внутренняя и внешняя биссектрисы угла IHI_c. Следовательно, проведя эти биссектрисы, мы восстановим точку C и прямую AB. Поскольку
∠IAI_c = ∠IBI_c = 90°,  точки A, B лежат на окружности с диаметром II_c. Построив эту окружность и найдя точки её пересечения с прямой AB, мы восстановим треугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	13