ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115872
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A1, A2, на другой – B1, B2, так что точка C1 пересечения прямых A1B1 и A2B2 лежит на третьей прямой. Пусть C2 – точка пересечения A1B2 и A2B1. Докажите, что угол C1OC2 прямой.


Решение

Пусть C3 – точка пересечения прямых OC1 и A2B1 (см. рис.). Применив сначала к треугольнику OA2B1 и точке C1 теорему Чевы, а затем к этому же треугольнику и прямой A1B2 теорему Менелая, получаем, что  C2A2 : C2B1 = C3A2 : C3B1 = OA2 : OB1.  Следовательно, OC2 – внешняя биссектриса угла A2OB1 и  OC2OC1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .