|
|
 |
Условие
Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi (i = 1, ..., n) – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково а) наименьшее; б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?
Решение
а) Так как отрезки AiPi делят площадь многоугольника пополам, любые два из них пересекаются. Пусть точка Pi лежит на стороне AjAj+1. Тогда точки Pj и Pj+1 лежат по разные стороны от Ai, то есть всегда найдутся три точки, лежащие на разных сторонах. С другой стороны, если две вершины многоугольника являются вершинами правильного треугольника, а все остальные расположены вблизи его третьей вершины, то все точки Pi лежат на трёх сторонах многоугольника.
Для правильного n-угольника при нечётном n все
Pi лежат на разных сторонах.
Пусть n = 2m. Так как отрезки AmPm и A2mP2m пересекаются, точки Pm и P2m лежат по одну сторону от диагонали AmA2m. По другую сторону от этой диагонали лежат m сторон многоугольника, и точка Pi может попасть на эти стороны, только если соответствующая вершина Ai лежит между Pm и P2m. Но таких вершин не больше, чем m–1, значит существует сторона, на которой нет точек Pi.
Рассмотрим теперь n-угольник, вершины A1, ..., An–2 которого являются вершинами правильного (n–1)-угольника, а вершины An–1, An расположены вблизи оставшейся вершины этого (n–1)-угольника. Тогда точки Pi расположены на всех сторонах построенного многоугольника, кроме An–1An.
Ответ
а) 3; б) n – 1 при чётном n и n при нечётном.
