ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115875
Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?


Решение

  а) Так как отрезки AiPi делят площадь многоугольника пополам, любые два из них пересекаются. Пусть точка Pi лежит на стороне AjAj+1. Тогда точки Pj и Pj+1 лежат по разные стороны от Ai, то есть всегда найдутся три точки, лежащие на разных сторонах. С другой стороны, если две вершины многоугольника являются вершинами правильного треугольника, а все остальные расположены вблизи его третьей вершины, то все точки Pi лежат на трёх сторонах многоугольника.

  Для правильного n-угольника при нечётном n все Pi лежат на разных сторонах.
  Пусть  n = 2m.  Так как отрезки AmPm и A2mP2m пересекаются, точки Pm и P2m лежат по одну сторону от диагонали AmA2m. По другую сторону от этой диагонали лежат m сторон многоугольника, и точка Pi может попасть на эти стороны, только если соответствующая вершина Ai лежит между Pm и P2m. Но таких вершин не больше, чем  m–1,  значит существует сторона, на которой нет точек Pi.
  Рассмотрим теперь n-угольник, вершины A1, ..., An–2 которого являются вершинами правильного (n–1)-угольника, а вершины An–1, An расположены вблизи оставшейся вершины этого (n–1)-угольника. Тогда точки Pi расположены на всех сторонах построенного многоугольника, кроме An–1An.


Ответ

а) 3;   б)  n – 1  при чётном n и n при нечётном.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .