Задача 115876

Темы:    [ Периметр треугольника ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Через каждую вершину неравнобедренного треугольника ABC проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами.
Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?

Решение

Предположим, например, что отрезки AA' и BB' равны. Тогда из равенства периметров треугольников AA'B и AA'C следует, что
BA' = ½ (AB + BC + CA) – AB.  Аналогично,  AB' = ½ (AB + BC + CA) – AB,  и значит, треугольники ABA' и BAB' равны по трём сторонам. Но тогда
∠A = ∠B,  что противоречит неравнобедренности треугольника ABC.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	2