ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115876
Темы:    [ Периметр треугольника ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через каждую вершину неравнобедренного треугольника ABC проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами.
Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?


Решение

Предположим, например, что отрезки AA' и BB' равны. Тогда из равенства периметров треугольников AA'B и AA'C следует, что
BA' = ½ (AB + BC + CA) – AB.  Аналогично,  AB' = ½ (AB + BC + CA) – AB,  и значит, треугольники ABA' и BAB' равны по трём сторонам. Но тогда
A = ∠B,  что противоречит неравнобедренности треугольника ABC.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .