ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115877
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.


Решение

Как известно, треугольники ABC и A1B1C подобны с коэффициентом  cos∠C.  Значит, поскольку  ∠ACO =  BCC1 = 90° – ∠B,  прямая CO содержит высоту треугольника A1B1C, то есть точки C, O, C2 лежат на одной прямой (см. рис.). Кроме того,  CC2 : CC1 = 2 cos∠C.  С другой стороны,  CH = 2CO cos∠C  (это следует из того, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом 2 точка O переходит в H). Следовательно,
CO·CC2 = CH·CC1 , что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 20

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .