|
|
 |
Условие
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Решение
Аффинным преобразованием переведём параллелограмм в квадрат и рассмотрим систему координат, оси которой совпадают с диагоналями квадрата. Будем считать, что стороны четырёхугольника пересекают оси координат в точках (±1, 0), (0, ±1), а точки P, Q имеют координаты (p, 0) и (0, q) соответственно. Тогда стороны четырёхугольника лежат на прямых с уравнениями x/p ± y = 1, ± x + y/q = 1; вершины имеют координаты , и нетрудно видеть, что прямая, соединяющая середины диагоналей, проходит через начало координат.
