ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115878
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.


Решение

Аффинным преобразованием переведём параллелограмм в квадрат и рассмотрим систему координат, оси которой совпадают с диагоналями квадрата. Будем считать, что стороны четырёхугольника пересекают оси координат в точках  (±1, 0),  (0, ±1),  а точки P, Q имеют координаты  (p, 0)  и  (0, q)  соответственно. Тогда стороны четырёхугольника лежат на прямых с уравнениями  x/p ± y = 1,  ± x + y/q = 1;  вершины имеют координаты   ,   и нетрудно видеть, что прямая, соединяющая середины диагоналей, проходит через начало координат.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 21

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .