ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115879
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четырехугольники (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.


Решение

  Если радиусы описанной и вписанной окружностей четырёхугольника равны R и r, а растояние между их центрами O и I равно d, то
= +   (см. книгу И.Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1986, задача II.248).
  Значит, по данным R, r мы можем определить d и построить эти окружности. Как известно, диагонали всех четырёхугольников с данными описанной и вписанной окружностями пересекаются в одной и той же точке L, лежащей на прямой OI, а их середины лежат на окружности с диаметром OL. Кроме того, отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку I (см. задачу 55451), а его длина равна  OL sin φ,  где φ – данный угол. Построив проходящую через I хорду такой длины, найдём середины диагоналей, а затем и вершины четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 22

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .