ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115880
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  n + 2  грани?


Решение

Применим к правильному 2n-угольнику A1...A2n растяжение относительно диагонали AnA2n с коэффициентом  k > 1 (см. рис.). Теперь перегнём полученный многоугольник по прямой AnA2n, так чтобы его вершины B1, ..., Bn–1, Bn+1, ..., B2n–1 проецировались в вершины исходного правильного многоугольника. Тогда все прямые BiB2n–i будут параллельны и многогранник, ограниченный треугольниками Bn–1BnBn+1, B2n–1B<2nB1, трапециями BiBi+1B2n–i–1B2n–i и двумя половинами 2n-угольника, будет искомым.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 23

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .