ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115881
Темы:    [ Четырехугольная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в пирамиду ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.


Решение

  Пусть ABCD – основание пирамиды, P – точка касания основания с вписанной сферой, P' – точка касания основания с вневписанной сферой, касающейся основания и продолжения боковых граней. Тогда расстояния от P до сторон основания относятся как котангенсы половин двугранных углов при соответствующих ребрах, а расстояния от P' – как их тангенсы. Отсюда следует, что прямые, соединяющие каждую вершину основания с P и P', симметричны относительно биссектрисы соответствующего угла основания.
  Пусть теперь K, L, M, N – точки, симметричные P относительно AB, BC, CD, DA. Так как, например,  BK = BP = BL,  серединный перпендикуляр к KL совпадает с биссектрисой угла KBL, то есть прямой BP' (см. рис.). Значит, P' – центр окружности, проходящей через точки K, L, M, N. Применив гомотетию с центром P и коэффициентом ½, получаем, что середина отрезка PP'  – центр окружности, проходящей через проекции P на рёбра основания.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 24

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .