ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115882
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.
Докажите, что трапеция равнобокая.


Решение

Пусть KLMN  – четырёхугольник, образованный биссектрисами (см. рис.). Так как AK и BK – биссектрисы смежных углов трапеции, то  ∠LKN = 90°.  Аналогично  ∠LMN = 90°.  Следовательно,  LK² + KN² = LM² + MN². С другой стороны, из перпендикулярности диагоналей получаем, что
KL² + MN² = KN² + LM².  Из этих двух равенств следует, что  KL = LM  и  MN = NK,  а значит,  ∠NKM = ∠NMK.  Но точки K, M, как точки пересечения биссектрис смежных углов, равноудалены от оснований трапеции, то есть  KM || AD.  Поэтому  ∠CAD = BDA,  и трапеция равнобокая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .