ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115883
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Из точки Q пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – A1, A2, ..., второго – B1, B2, ... . Оказалось, что точки A1, B1 и P лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые AiBi проходят через точку P.

Решение

При отражении лучей от окружностей выполняются условия  QA1 = A1A2 = A2A3 = ...  и QB1 = B1B2 = B2B3 = ... . Значит,
∠(PQ, PA1) = ∠(PA1, PA2) = ∠(PA2, PA3) = ...  и  ∠(PQ, PB1) = ∠(PB1, PB2) = ∠(PB2, PB3) = ...  (углы ориентированные). Кроме того, так как точки A1, B1, P лежат на одной прямой, то  ∠(PQ, PA1) = ∠(PQ, PB1).  Следовательно, при любом i имеем  ∠(PAi–1, PAi) = ∠(PBi–1, PBi),  откуда по индукции получаем, что точки Ai, Bi, P лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .