Задача 115885

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.

Решение

  Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, I_a, I_b, I_c – центры его вневписанных окружностей (см. рис.). Тогда
∠AI_cB = 180° – ½ (180° – ∠A) – ½ (180° – ∠B) = ½ (∠A + ∠B) = 45°,  ∠AI_aB = 180° – ½ ∠A – ∠B – ½ (180° – ∠B) = 90° – ½ (∠A + ∠B) = 45°  и аналогично  ∠AI_bB = 45°,  причём точки I_a, I_b лежат по одну сторону от прямой AB, а I_c по другую. Следовательно, все эти три точки лежат на двух окружностях Ω₁, Ω₂, проходящих через точки A, B, в которых хорда AB стягивает дугу в 90°.

  Пусть прямые k, l проходят соответственно через A, B перпендикулярно AB. Когда точка C описывает полуокружность с диаметром AB, каждый из центров пробегает четверть соответствующей окружности. А именно, I_a пробегает дугу между B и точкой пересечения окружности с l; I_b – дугу между A и точкой пересечения окружности с k; I_c – дугу между точками пересечения окружности с k и l. Когда C описывает всю окружность с диаметром AB, исключая точки A, B, центры пробегают искомое ГМТ, а именно дуги окружностей Ω₁, Ω₂, которые лежат вне окружности с диаметром AB и из которых исключены их концы A, B и точки их пересечения с прямыми k, l.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	6